Question

12．设a为大于1的常数，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，x＞0\\{a^x}，x≤0\end{array}$，若关于x的方程f²（x）-bf（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是（　　）

• A． 0＜b≤1
• B． 0＜b＜1
• C． 0≤b≤1
• D． b＞1

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=0或f（x）=b，从而可得f（x）=b在（-∞，0]上必须有且只有一个解，从而解得．

解答 解：f²（x）-bf（x）=f（x）（f（x）-b）=0，
∴f（x）=0或f（x）=b，
由f（x）=0解得，x=1；
若x＞0，则由f（x）=b解得，
x=a^b，
又∵关于x的方程f²（x）-bf（x）=0恰有三个不同的实数解，
∴f（x）=b在（-∞，0]上必须有且只有一个解，
又∵x∈（-∞，0]时，a^x∈（0，1]；
故0＜b≤1；
故选A．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及分段函数的应用，属于中档题．