Question

17．在等腰梯形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AB=4，CD=2，AD=BC=$\sqrt{2}$，现将梯形AEFD沿EF折起，并记平面AEFD与平面BEFC所成二面角的平面角为θ，BE中点为G．
（1）当θ=60°时，求证：AG⊥平面AEFC；
（2）当三棱锥D-CFG的体积取得最大值时，求DG与平面AEFD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由已知AF=BF，∠AFB=60°，G为FB的中点，可得AG⊥FB①再由E、F分别是CD、AB的中点，可得EF⊥AB，于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，进而可得AG⊥EF②，结合①②根据直线与平面垂直的判定定理可证AG⊥平面BCEF．
（2）根据三棱锥D-CFG的底面是个常数，则只需要高最大即可，得到DF⊥平面BCFE，从而得到直线和平面所成的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵AE⊥EF，BE⊥EF，
∴∠AEB是二面角AEFD与平面BEFC的平面角，即∠AEB=θ，
∵AF=BF，∠AFB=60°，△AFB为等边三角形．
又G为FB的中点，所以AG⊥FB．
在等腰梯形ABCD中，
∵E、F分别是CD、AB的中点，
∴EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，
∴AG⊥EF．
又EF与FB交于一点F，
∴AG⊥平面BCEF．
（2）∵△CFG的面积是个常数，
∴要使三棱锥D-CFG的体积取得最大，
则只需D到平面EFG的距离最大，即DF⊥平面BCFE即可，
此时平面AEFD⊥平面BCFE，
∵EG⊥平面AEDF，
∴∠GDE就是DG与平面AEFD所成的角，
则tan∠GDE=$\frac{EG}{DE}$，
∵EG=$\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×2=1$，DF=$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×2=1$，AD=BC=$\sqrt{2}$，
∴EF=1，
则DF=$\sqrt{2}$，
即tan∠GDE=$\frac{EG}{DE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查空间线面关系中的垂直关系：线面垂直的判定的运用、线面角的度求解，要求考生具备一定的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．