Question

7．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=$\sqrt{6}$，DE=3，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED
（2）求三棱锥B-DAE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O，连接OE，可得EFGO为平行四边形⇒GF∥OE，又GF?面BED，OE?面DEB⇒FG∥平面BED；
（2）延长DA，作EH⊥DA垂足为H，由平面AED⊥平面ABCD，⇒EH⊥平面ABCD，⇒EH=DEsin∠DEA=$\sqrt{5}$，即三棱锥B-DAE的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB×AD×sin6{0}^{0}×EH=\frac{\sqrt{15}}{6}$

解答 解：（1）连接AC交BD于O，连接OE，OG⇒OG∥$\frac{1}{2}$CD∥EF，OG=$\frac{1}{2}CD$=EF，
EFGO为平行四边形⇒GF∥OE，又GF?面BED，OE?面DEB⇒FG∥平面BED；
（2）延长DA，作EH⊥DA垂足为H，
由平面AED⊥平面ABCD，
∵DA=平面AED∩平面ABCD，EH?平面AED⇒EH⊥平面ABCD，
cos∠EDA=$\frac{D{E}^{2}+D{A}^{2}-A{E}^{2}}{2DE•DA}=-\frac{2}{3}$⇒sin∠EDA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$
⇒EH=DEsin∠DEA=$\sqrt{5}$
∴三棱锥B-DAE的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB×AD×sin6{0}^{0}×EH=\frac{\sqrt{15}}{6}$．．

点评 本题考查了线面平行的判定，几何体的体积，属于中档题．