Question

7．参加某高校自主招生考试，男生有300人，女生有200人．现用分层抽样的方法，从中抽取100人的样本，分别将他们的初试成绩制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）从样本中初试成绩不足60分的考生中随机抽取2人，求至少抽到一名女生的概率；
（Ⅱ）该高校规定，凡初试成绩不低于80分者有资格进入复试．请你根据已知条件填出下面的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为能否进入复试与考生性别有关？

	能进入复试	不能进入复试	合计
男生
女生
合计

$k=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$附表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出基本事件的个数以及满足条件的所有的结果，即可得出结论；
（Ⅱ）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论．

解答 解：（1）由题知，样本中有男生60人，女生40人．---------------------------------（2分）
所以样本中初试成绩不足6（0分）的男生有60×0.05=3人，
记为1、2、3；女生有40×0.05=2人，记为a、b；
随机抽取2人，所以可能的结果为：
（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（1，b），
（2，a），（2，b），（3，a），
（3，b），（a，b）共10种，
其中至少有一名女生的有7种，
故所求的概率为$P=\frac{7}{10}$--------------------------------------（6分）
（2）有直方图知，初试成绩不低于8（0分）的男生有（0.20+0，05）×60=15人，
女生有（0.325+0.05）×40=15人，
列联表如下：

	能进入复试	不能进入复试	合计
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合计	30	70	100

-------------------（8分）
所以，K²的观测值$k=\frac{{100×{{（15×25-15×45）}^2}}}{60×40×30×70}≌1.79＜2.706$------------------（10分）
所以，没有90%以上的把握认为“能否进入复试与考生性别有关”．------------（12分）

点评 本题主要考查独立性检验的应用，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题．