Question

12．已知椭圆方程C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，O是坐标原点，A，B分别是椭圆上两点，且满足OA⊥OB，求证：点O到直线AB的距离是定值．

Answer 1

分析 当直线AB的斜率不存在时，由y=x代入椭圆方程可得：：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得x，此时原点O到直线AB的距离为$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（b²+a²k²）x²+2a²ktx+a²t²-a²b²=0，△＞0，根据∠AOB=90°．可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用根与系数的关系可得：$\frac{{t}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，从而可得原点O到直线AB的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$为定值．

解答 证明：当直线AB的斜率不存在时，由y=x代入椭圆方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得x=±$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，此时原点O到直线AB的距离为$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立直线与椭圆方程，化为（b²+a²k²）x²+2a²ktx+a²t²-a²b²=0，
△＞0，则x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}kt}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{t}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
化为（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0，
化为$\frac{（1+{k}^{2}）（{a}^{2}{t}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}{t}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$+t²=0，
化为$\frac{{t}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴原点O到直线AB的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
综上可得：原点O到直线AB的距离为定值$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．