Question

3．已知sin（α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，α∈（0，π）．
（1）求$\frac{sin（α-\frac{π}{2}）-cos（\frac{3π}{2}+α）}{sin（π-α）+cos（3π+α）}$的值；
（2）求cos（2α-$\frac{3π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出cosα，sinα，利用诱导公式化简表达式求出值．
（2）直接利用二倍角公式，求出sin2α，cos2α，利用两角差的余弦函数求解即可．

解答 解：（1）∵sin（α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，α∈（0，π）．
∴cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴α∈（$\frac{π}{2}$，π）．sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{sin（α-\frac{π}{2}）-cos（\frac{3π}{2}+α）}{sin（π-α）+cos（3π+α）}$=$\frac{-cosα-sinα}{sinα-cosα}$=-$\frac{1}{3}$，
（2）cos（2α-$\frac{3π}{4}$）=cos（2α+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2α-sin2α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2cos²α-1-2sinαcosα）
=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查二倍角公式与两角差的余弦函数、诱导公式等知识的运用，考查计算能力，三角函数的值的求法．