Question

14．已知函数f（x）=2x．则f（x）+f[f（x）]+f{f[f（x）]}+…+f{f[…f（x）]}︸n个f=（2ⁿ-1）2x．

Answer 1

分析 根据f（x）的解析式可以得到：1个f时，f（x）=2¹x；2个f时，f[f（x）]=2²x；3个f时，f{f[f（x）]}=2³x，从而可以归纳出n个f时的函数值，可以看出：x=0时，所求和为0，而x≠0时，便是等比数列求和问题，根据等比数列求和公式即可求出该和为（2ⁿ-1）2x，综合这两种情况即可得出要求的和．

解答 解：f（x）=2x，f[f（x）]=f（2x）=2•2x=2²x，f{f[f（x）]}=f（2²x）=2•2²x=2³x；…
∴$\underset{\underbrace{f\{f[…f（x）]\}}}{n个f}={2}^{n}x$．
∴①x=0时，$f（x）+f[f（x）]+f\{f[f（x）]\}+…+\underset{\underbrace{f\{f[…f（x）]\}}}{n个f}=0$；
②x≠0时，2x，2²x，…，2ⁿx是以2x为首项，2为公比的等比数列；
∴2x+2²x+2³x+…+2ⁿx=$\frac{2x（1-{2}^{n}）}{1-2}=（{2}^{n}-1）2x$；
综上得，f（x）+f[f（x）]+f{f[f（x）]}$+…+\underset{\underbrace{f\{f[…f（x）]\}}}{n个f}=（{2}^{n}-1）2x$．
故答案为：（2ⁿ-1）2x．

点评 考查已知函数求值，数学归纳的思想方法，以及等比数列的概念，等比数列的求和公式．