Question

3．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+x，x＞0\\-x，x≤0\end{array}\right.$，若不等式f（x-1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则实a数的最大值为（　　）

• A． $-\frac{9}{16}$
• B． -1
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用函数f（x-1）的图象高于f（x）的图象，进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）和f（x-1）的图象，
当a≥0时，f（x-1）≥f（x）对一切x∈R不恒成立（如图1）
当a＜0时，f（x-1）过定点（1，0）（如图2），
当x＞0时，f（x）=ax²+x的两个零点为x=0和x=-$\frac{1}{a}$，
要使不等式f（x-1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，
则只需要-$\frac{1}{a}$≤1，得a≤-1，
即a的最大值为-1，
故选：B

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数图象平移关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．