Question

11．已知长方体AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E为D₁C₁的中点，如图所示．
（Ⅰ）在所给图中画出平面C₁BD₁与平面B₁EC的交线（不必说明理由）；
（Ⅱ）证明：BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）求BD₁中点到平面B₁EC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC₁ 交B₁C于M，则直线ME即为平面ABD₁ 与平面B₁EC的交线；
（Ⅱ）在长方体AC₁ 中，M为BC₁ 的中点，又E为D₁C₁的中点，由三角形中位线定理可得EM∥BD₁，再由线面平行的判定可得BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）B到平面B₁EC的距离d即为BD₁中点到平面B₁EC的距离，然后利用等积法即可求得BD₁中点到平面B₁EC的距离．

解答 （Ⅰ）解：连接BC₁ 交B₁C于M，则直线ME即为平面ABD₁ 与平面B₁EC的交线，如图所示；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），在长方体AC₁ 中，M为BC₁ 的中点，又E为D₁C₁的中点，
∴在△D₁C₁B中，EM是中位线，则EM∥BD₁，
又EM?平面B₁EC，BD₁?平面B₁EC，
∴BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）解：∵BD₁∥平面B₁EC，
∴B到平面B₁EC的距离d即为BD₁中点到平面B₁EC的距离．
∵${V_{B-{B_1}CE}}={V_{E-{B_1}CB}}$，
∴$\frac{1}{3}S{\;}_{△{B_1}CE}•d=\frac{1}{3}S{\;}_{△{B_1}CB}•1$，
∵${B}_{1}C={B}_{1}E=\sqrt{5}$，EC=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}EC}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{5-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$，${S}_{{B}_{1}CB}=1$，
∴d=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．