Question

2．已知椭圆E的中心在原点，焦点F₁、F₂在y轴上，离心率等于$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，P是椭圆E上的点，以线段PF₁为直径的圆经过F₂，且9$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设椭圆的标准方程，c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，则利用椭圆的定义m+n=2a，勾股定理n²+（2c）²=m²，及向量数量积，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）假设存在直线l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论．

解答 解：（1）由题意可知：设题意的方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，设丨PF₁丨=m，丨PF₂丨=n，
则m+n=2a，
线段PF₁为直径的圆经过F₂，则PF₂⊥F₁F₂，
则n²+（2c）²=m²，
9m•n×cos∠F₁PF₂=1，由9n²=1，n=$\frac{1}{3}$，解得：a=3，c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆标准方程：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-$\frac{1}{2}$平分，
∴直线l的斜率存在．
设直线l：y=kx+m，则
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M，N，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{km}{{k}^{2}+9}$=-$\frac{1}{2}$，∴m=$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$②
把②代入①式中得（$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$）²-（k²+9）＜0
∴k＞$\sqrt{3}$或k＜-$\sqrt{3}$，
∴直线l倾斜角α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）∪（ $\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积，考查学生的计算能力，属于中档题．