Question

7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=$\sqrt{2}$与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为$\frac{π}{2}$，则（　　）

• A． f（x）在$（0，\frac{π}{4}）$上单调递减
• B． f（x）在$（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$上单调递减
• C． f（x）在$（0，\frac{π}{4}）$上单调递增
• D． f（x）在$（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$上单调递增

Answer 1

分析 根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．

解答 解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
=$\sqrt{2}$[$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（ωx+φ）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（ωx+φ）]
=$\sqrt{2}sin（ωx+φ+\frac{π}{4}）$，
∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，
∴$φ+\frac{π}{4}=kπ（k∈Z）$，则$φ=-\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$，又0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{3π}{4}$，∴f（x）=$\sqrt{2}sin（ωx+\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}）$=$-\sqrt{2}sinωx$，
∵y=$\sqrt{2}$与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}$，则ω=4，即f（x）=$-\sqrt{2}sin4x$，
由$x∈（0，\frac{π}{4}）$得4x∈（0，π），则f（x）在$（0，\frac{π}{4}）$上不是单调函数，排除A、C；
由$x∈（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$得4x∈$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，则f（x）在$（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$上是增函数，排除B，
故选：D．

点评 本题考查两角和的正弦函数、诱导公式，三角函数的周期公式，以及正弦函数的单调性的应用，考查化简、计算能力．