Question

19．设$a=\int_0^π{sinxdx}$，则${（a\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^6}$展开式的常数项为（　　）

• A． -20
• B． 20
• C． -160
• D． 240

Answer 1

分析 利用定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项．

解答 解：$a=\int_0^π{sinxdx}$=-cosx${|}_{0}^{π}$=-（cosπ-cos0）=2，
则${（a\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^6}$=${（2\sqrt{x}+\frac{1}{x}）}^{6}$展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（2\sqrt{x}）}^{6-r}$•${（\frac{1}{x}）}^{r}$
=2^6-r•${x}^{3-\frac{3}{2}r}$•${C}_{6}^{r}$，
令3-$\frac{3}{2}$r=0得：r=2．
∴展开式中的常数项为2⁴•${C}_{6}^{2}$=240．
故选：D．

点评 本题考查了定积分与二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．