Question

16．已知f（x）=|xe^x|，又g（x）=f²（x）-tf（x）（t∈R），若满足g（x）=-1的x有四个，则t的取值范围是（e+$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 设f（x）=λ，研究f（x）的单调性和极值，得出f（x）=λ的解的情况，从而确定关于λ的方程λ²-tλ+1=0的解的分布情况，利用二次函数的性质得出t的范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
当x≥0时，f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
当x＜0时，f′（x）=-e^x-xe^x=（-1-x）e^x，
∴当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在（-1，0）上是减函数．
当x=-1时，f（x）取得极大值f（-1）=$\frac{1}{e}$．
令f（x）=λ，
又f（x）≥0，f（0）=0，
则当λ＜0时，方程f（x）=λ无解；
当λ=0或λ＞$\frac{1}{e}$时，方程f（x）=λ有一解；
当λ=$\frac{1}{e}$时，方程f（x）=λ有两解；
当0＜λ＜$\frac{1}{e}$时，方程f（x）=λ有三解．
∵g（x）=f²（x）-tf（x）=-1有四个不同的实数解，
∴关于λ的方程λ²-tλ+1=0在（0，$\frac{1}{e}$）和（$\frac{1}{e}$，+∞）上各有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4＞0}\\{\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{t}{e}+1＜0}\end{array}\right.$，解得t$＞e+\frac{1}{e}$．
故答案为（e+$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的零点个数与单调性和极值的关系，二次函数的性质，换元法解题思想，属于中档题．