Question

19．若S_n为数列{a_n}的前n项和，且2S_n=a_n+1a_n，a₁=4，则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+3，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 2S_n=a_n+1a_n，a₁=4，n=1时，2×4=4a₂，解得a₂．n≥2时，2S_n-1=a_na_n-1，可得2a_n=a_n+1a_n-a_na_n-1，可得a_n+1-a_n-1=2．n≥2时，a_n+1-a_n-1=2，可得数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等差数列．

解答 解：∵2S_n=a_n+1a_n，a₁=4，
∴n=1时，2×4=4a₂，解得a₂=2．
n≥2时，2S_n-1=a_na_n-1，可得2a_n=a_n+1a_n-a_na_n-1，
∴a_n=0（舍去），或a_n+1-a_n-1=2．
n≥2时，a_n+1-a_n-1=2，可得数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等差数列．
∴a_2k-1=4+2（k-1）=2k+2．k∈N^*．
a_2k=2+2（k-1）=2k．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+3，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{n+3，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．