Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AB=1，BD=PA=2．求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 解：因为PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD． 又AD⊥AB，
故分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
根据条件得AD=$\sqrt{3}$．所以B（1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），C（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），P（0，0，2）． 
因为AB⊥平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0）．
 设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PC}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
得$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}y-2z=0\\ \sqrt{3}y-2z=0\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}z\\ y=\frac{2\sqrt{3}}{3}z\end{array}$，不妨取z=3，则得$\overrightarrow{n}$=（2，2$\sqrt{3}$，3）．
设二面角A-PD-C的大小为ϕ，则cosϕ=cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{（1，0，0）•（2，2\sqrt{3}，3）}{1×5}$=$\frac{2}{5}$．  
即二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．