Question

16．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，且所有棱长均相等，M为A₁C₁的中点，则直线CM和直线A₁B所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形找出异面直线CM与A₁B所成的角，再求该角的余弦值．

解答 解：如图所示，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，所有棱长均相等，
取AC的中点N，连接A₁N，
∵M为A₁C₁的中点，
∴MC∥A₁N，
∴∠BA₁N是直线CM与A₁B所成的角，
设三棱柱的棱长为2，
则A₁B=2$\sqrt{2}$，A₁N=$\sqrt{5}$，BN=$\sqrt{3}$，
且BN⊥平面ACC₁A₁，
∴BN⊥A₁N，
∴直线CM和直线A₁B所成角的余弦值为
cos∠BA₁N=$\frac{{A}_{1}N}{{A}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间想象力以及异面直线所成角的计算问题，是综合性题目．