Question

9．有两个各项都是正数的数列{a_n}，{b_n}，如果a₁=1，b₁=2，a₂=3，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，试求这两个数列的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，计算整理可得（1+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$）（1+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$）=4．通过$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$、$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$、$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$的值猜测：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$并用数学归纳法证明．利用累乘法即得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，进而可得b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

解答 解：∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$，
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
∴${{a}_{n+1}}^{2}$=b_nb_n+1
=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}}{2}$
=$\frac{1}{4}$（a_n+a_n+1）（a_n+1+a_n+2），
∴（a_n+a_n+1）（a_n+1+a_n+2）=4${{a}_{n+1}}^{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=4，
即（1+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$）（1+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$）=4．
∵a₁=1，b₁=2，a₂=3，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{1+\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}}$-1=$\frac{4}{1+\frac{1}{3}}$-1=$\frac{4}{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{4}{1+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$-1=$\frac{4}{1+\frac{2}{4}}$-1=$\frac{5}{3}$，
…
猜测：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$．
下面用数学归纳法来证明：
（1）当n=1时，显然成立；
（2）假设当n=k≥2时，有$\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}$=$\frac{k+2}{k}$，
∵（1+$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$）（1+$\frac{{a}_{k+2}}{{a}_{k+1}}$）=4，
∴$\frac{{a}_{k+2}}{{a}_{k+1}}$=$\frac{4}{1+\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}}$-1
=$\frac{4}{1+\frac{k}{k+2}}$-1
=$\frac{4（k+2）}{2k+2}$-1
=$\frac{k+3}{k+1}$
=$\frac{（k+1）+2}{k+1}$，
即当n=k+1时也成立，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$，
…
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，
累乘可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{3×4×…×n×（n+1）}{1×2×…×（n-2）（n-1）}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a₁=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}+\frac{（n+1）（n+2）}{2}}{2}$=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$，
经检验，数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形以及累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．