Question

如图：在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角60°
（Ⅰ）求证：平面MAP⊥平面SAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的平面角的正切值；
（Ⅲ）求AP和CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据线面垂直的性质可得SC⊥BC，结合∠ACB=90°及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面SAC，由三角形中位线定理可得PM∥BC，结合线面垂直的第二判定定理可得PM⊥平面SAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面MAP⊥平面SAC；
（Ⅱ）取BC的中点D，连MD，在平面ABC内作DE⊥AB于E，连ME，可证得∠MED即为二面角M-AB-C的平面角，解三角形MED可得二面角M-AB-C的平面角的正切值；
（Ⅲ）作AF

∥

.

CD，则AF

∥

.

PM，可证得∠CMF或其补角即为AP与CM所成的角，解三角形CMF可得AP和CM所成角的余弦值．

解答：证明：（Ⅰ）∵SC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SC⊥BC，
又∵BC⊥AC，SC∩AC=C，SC，AC?平面SAC，
∴BC⊥平面SAC，
∵点P，M分别是SC和SB的中点，
∴PM∥BC，
∴PM⊥平面SAC，
∵PM?平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC
解：（ II）取BC的中点D，连MD，在平面ABC内作DE⊥AB于E，连ME，
由M，D分别为SB，BC的中点，
可得MD∥SC，MD=

1

2

SC
由SC⊥平面ABC，可得MD⊥平面ABC，
则∠MED即为二面角M-AB-C的平面角，
∵直线AM与直线SC所成的角60°，MD∥SC，
∴∠AMD=60°，
∵PM=AC=CD=BD=1，
∴AD=

2

，MD=

6

3

，DE=

5

5

，
∴tan∠MED=

MD

DE

=

30

3

 
（Ⅲ）作AF

∥

.

CD，则AF

∥

.

PM
即四边形AFMP为平行四边形
则AP∥FM
则∠CMF或其补角即为AP与CM所成的角，
∵CM=

15

3

，MF=

15

3

，CF=

2

，
由余弦定理得cos∠CMF=

2

5

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中构造出空间线面夹角，异面直线夹角的平面角，将空间角问题转化为解三角形问题是解答的关键．