Question

7．已知矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$，N=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，试求曲线y=sinx在矩阵（MN）^-1变换下的函数解析式．

Answer 1

分析 先求出MN，从而求出矩阵（MN）^-1=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$，设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵（MN）^-1变换下对应的点为（a，b），得到x=$\frac{1}{2}a$，y=2b，由此能求出曲线y=sinx在矩阵（MN）^-1变换下的曲线方程．

解答 解：∵矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$，N=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，
∴MN=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}][\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$，
∵$（\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{\;}&{0}&{1}\end{array}）$→$（\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{2}&{0}\\{0}&{1}&{\;}&{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}）$，
∴矩阵（MN）^-1=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$，
设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵（MN）^-1变换下对应的点为（a，b）．
则$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}\\{b}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2x}\\{b=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，即x=$\frac{1}{2}a$，y=2b，
代入y=sinx得：2b=sin（$\frac{1}{2}$a），即b=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$a）．
即曲线y=sinx在矩阵（MN）^-1变换下的曲线方程为y=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x）．

点评 本题考查函数解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵的乘积、逆矩阵的运算等知识点的合理运用．