Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．

（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；

（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a=2（2）a≥3

【解析】试题分析：（1）由对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，得方程组，解得实数a的值；（2）由二次函数单调性得a≥2，再根据二次函数图像转化不等式恒成立条件，解对应不等式可得实数a的取值范围．

试题解析：解：（1）∵f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2（a＞1），

∴f（x）在[1，a]上是减函数，

又定义域和值域均为[1，a]，

∴，即，解得 a=2．

（2）∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，

∴a≥2，

又∵对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，

∴，即

解得：a≥3，

综上所述，a≥3