Question

【题目】已知和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足.（1）求实数间满足的等量关系；

（2）求线段长的最小值；

（3）若以为圆心所作的与有公共点，试求半径取最小值时的方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）.

【解析】试题分析：（1）连，由勾股定理可得，化简可得实数间满足的等量关系；（2）由于，根据间的等量关系及二次函数的性质即可求出线段长的最小值；（3）解法一：设的半径为，根据题设条件可得，利用二次函数的性质求得的最小值，此时，求得， 取得最小值，从而得到圆的方程；解法二：根据的轨迹设出直线，由与有公共点，欲求半径最小，即为与外切时半径最小，然后可求出半径最小值及垂直直线的方程，即可求出此时圆心的坐标，故而求出方程.

试题解析：（1）连

∵为切点， ，由勾股定理有

又由已知，故.即： .

化简得实数间满足的等量关系为： .

（2）由，得.

.

故当时， ，即线段长的最小值为.

（3）解法一：设的半径为

∵与有公共点， 的半径为1，

∴.即且.

而，

故当时， .此时， ， .

得半径取最小值时的方程为.

解法二：由题意可得的轨迹方程是，设为直线

与有公共点， 半径最小时为与外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点.

.

又，

解方程组，得，即.

∴所求圆方程为.