【题目】设函数f(x)= ,g(x)=lnx+
(a>0).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若x1、x2∈(0,+∞),使得g(x1)≤f(x2)成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)= =
,
令f′(x)=0,解得x=0,2.
列表如下:
x | (﹣∞,0) | 0 | (0,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | ﹣ | 0 | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
可知:当x=0时,函数f(x)取得极小值,f(0)=0.当x=2时,函数f(x)取得极大值,f(2)=
(2)解:x1、x2∈(0,+∞),使得g(x1)≤f(x2)成立,[g(x)]min≤[f(x)]max,x∈(0,+∞).
由(1)可得:[f(x)]max=f(2)= .
g′(x)= ﹣
=
(x>0,a>0).
可知:当x=a时,函数g(x)取得极小值即最小值,
∴g(a)=lna+1≤ .
∴0<a≤ .
因此a的取值范围是
【解析】(1)f′(x)= ,令f′(x)=0,解得x=0,2.列表如下,即可得出极值.(2)x1、x2∈(0,+∞),使得g(x1)≤f(x2)成立[g(x)]min≤[f(x)]max,x∈(0,+∞).由(1)可得:[f(x)]max=f(2)=
.再利用导数研究函数g(x)的单调性即可得出极小值即最小值.
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.
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【题目】已知和定点
,由
外一点
向
引切线
,切点为
,且满足
.(1)求实数
间满足的等量关系;
(2)求线段长的最小值;
(3)若以为圆心所作的
与
有公共点,试求半径取最小值时的
方程.
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【题目】已知函数f(x)=ax+ (a>1),
(1)判断函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性,并证明你的判断;
(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确到0.1).
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【题目】如图,在半径为的半圆形(
为圆心)铝皮上截取一块矩形材料
,其中
在直径上,点
在圆周上.
(1)设,将矩形
的面积
表示成
的函数,并写出其定义域;
(2)怎样截取,才能使矩形材料的面积最大?并求出最大面积.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+2x﹣2﹣a(a≤0),
(1)若a=﹣1,求函数的零点;
(2)若函数在区间(0,1]上恰有一个零点,求a的取值范围.
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【题目】若函数h(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为M(x0 , h(x0)),记函数h(x)的导函数为g(x),则有g′(x0)=0,设函数f(x)=x3﹣3x2+2,则f( )+f(
)+…+f(
)+f(
)= .
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【题目】某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这些服装件数x之间有如下一组数据:
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y | 66 | 69 | 73 | 81 | 89 | 90 | 91 |
已知=280,
yi=3 487,
(1)求;
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程;
(3)每天多销售1件,纯利y增加多少元?
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