【题目】已知函数f(x)=ax+ (a>1),
(1)判断函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性,并证明你的判断;
(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确到0.1).
【答案】(1)函数 在
上为增函数;证明见解析
(2)区间中点0.28125的近似值0.3为满足条件的近似值
【解析】试题分析:(1)用定义法证明单调性.任取x1,x2∈(-1,+∞)且x1<x2代入 做差得
,所以f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)用二分法求此正根.f(x)在(0,+∞)上为增函数,因此f(x)=0仅有一个正根,因为 f(0)=-1<0,f(1)=
>0,所以可取[0,1]为计算的初始区间列出表格,由于区间[0.25,0.3125]的长度是0.3125-0.25=0.0625<0.1,所以区间中点0.28125的近似值0.3为满足条件的近似值.
试题解析:
解:(1)任取x1,x2∈(-1,+∞)且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=a-a
+
-
=(a-a
)+
,
∵x1,x2∈(-1,+∞)且x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,a-a
<0.
∴f(x1)<f(x2).∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)由(1)知f(x)在(0,+∞)上为增函数,因此f(x)=0的正根仅有一个,可用二分法求此正根的近似值.
由于f(0)=-1<0,f(1)= >0,取[0,1]为计算的初始区间,列表如下:
左端点 | 右端点 | |
第1次 | 0 | 1 |
第2次 | 0 | 0.5 |
第3次 | 0.25 | 0.5 |
第4次 | 0.25 | 0.375 |
第5次 | 0.25 | 0.3125 |
由于区间[0.25,0.3125]的长度是0.3125-0.25=0.0625<0.1,所以区间中点0.28125的近似值0.3为满足条件的近似值.
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资类产品的收益与投资额成正比,投资
类产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时
两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
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【题目】已知函数,给出下列结论:
(1)若对任意,且
,都有
,则
为R上的减函数;
(2)若为R上的偶函数,且在
内是减函数,
(-2)=0,则
>0解集为(-2,2);
(3)若为R上的奇函数,则
也是R上的奇函数;
(4)t为常数,若对任意的,都有
则
关于
对称。
其中所有正确的结论序号为_________
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【题目】如图,多面体PABCD的直观图及三视图如图所示,E、F分别为PC、BD的中点.
(I)求证:EF∥平面PAD;
(II)求证:平面PDC⊥平面PAD.
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【题目】如图,已知双曲线 ﹣
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , |F1F2|=4,P是双曲线右支上一点,直线PF2交y轴于点A,△APF1的内切圆切边PF1于点Q,若|PQ|=1,则双曲线的离心率为 .
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【题目】设函数f(x)= ,g(x)=lnx+
(a>0).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若x1、x2∈(0,+∞),使得g(x1)≤f(x2)成立,求a的取值范围.
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【题目】已知正项数列{an}的首项a1=1,且(n+1)a +anan+1﹣na
=0对n∈N*都成立.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=a2n﹣1a2n+1 , 数列{bn}的前n项和为Tn , 证明:Tn< .
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【题目】设函数f(x)的定义域为U=(0,+),且满足条件f(4)=1。对任意的x1,x2∈U,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有
>0。
(1)求f(1)的值;
(2)如果f(x+6)+f(x)>2,求x的取值范围。
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