Question

【题目】已知正项数列{an}的首项a1=1，且（n+1）a +anan+1﹣na =0对n∈N*都成立．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn=a2n﹣1a2n+1 ， 数列{bn}的前n项和为Tn ， 证明：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：（n+1）a +anan+1﹣na =0对n∈N*都成立．

∴[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，∵an+1+an＞0，

∴（n+1）an+1﹣nan=0，即 = ．

∴an= … = … 1=

（2）解：证明：bn=a2n﹣1a2n+1= = ．

数列{bn}的前n项和为Tn= +…+

= ．

即Tn＜ ．

【解析】（1）（n+1）a +anan+1﹣na =0对n∈N*都成立．分解因式可得：[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，由an+1+an＞0，可得（n+1）an+1﹣nan=0，即 = ．利用“累乘求积”方法即可得出．（2）bn=a2n﹣1a2n+1= = ．利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．