【题目】设函数f(x)的定义域为U=(0,+),且满足条件f(4)=1。对任意的x1,x2∈U,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有
>0。
(1)求f(1)的值;
(2)如果f(x+6)+f(x)>2,求x的取值范围。
【答案】(1) f(1)=0 (2) (2,+)
【解析】试题分析: (1)令x1=x2=l,代入f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),即可求出f(1)的值;(2)设0<x1<x2,则x2-x1>0.又因为当x1≠x2时, >0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在定义域内为增函数. 令x1=x2=4,可求出f(16)=2, 当
即x>0时,原不等式可化为f[x(x+6)]>f(16),根据函数的单调性解出不等式,即x的范围.
试题解析:
(1)因为对任意的x1,x2∈U,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
所以令x1=x2=l,得f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),所以f(1)=0。
(2)设0<x1<x2,则x2-x1>0。
又因为当x1≠x2时, >0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在定义域内为增函数。
令x1=x2=4,得f(4×4)=f(4)+f(4)=1+1=2,即f(16)=2。
当即x>0时,原不等式可化为f[x(x+6)]>f(16)。
又因为f(x)在定义域上为增函数,所以x(x+6)>16,解得x>2或x<-8。
又因为x>0,所以x>2。所以x的取值范围为(2,+)。
点睛:证明函数单调性的一般步骤:(1)取值:在定义域上任取,并且
(或
);(2)作差:
,并将此式变形(要注意变形到能判断整个式子符号为止);(3)定号:判断
的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论;(4)下结论:根据定义得出其单调性.
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【题目】已知函数f(x)=ax+ (a>1),
(1)判断函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性,并证明你的判断;
(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确到0.1).
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【题目】某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2009年为第1年,且前4年中,第年与年产量
万件之间的关系如下表所示:
若近似符合以下三种函数模型之一:
=
=
=
.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式;
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2015年的年产量比预计减少,试根据所建立的函数模型,确定2015年的年产量.
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【题目】某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如下表所示:
(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差.
(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米,方差不超过1.200,两者允许误差均不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否合格?
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【题目】某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这些服装件数x之间有如下一组数据:
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y | 66 | 69 | 73 | 81 | 89 | 90 | 91 |
已知=280,
yi=3 487,
(1)求;
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程;
(3)每天多销售1件,纯利y增加多少元?
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【题目】某购物网站在2017年11月开展“全部6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后〕满300元时可减免100元”.小淘在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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