Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心为O，它的一个顶点为（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过其右焦点的直线交该椭圆于A，B两点．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若OA⊥OB，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）通过离心率，结合椭圆的几何量的关系，求解即可得到椭圆的方程．
（2）判断直线AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，写出直线AB的方程为y=k（x-1）与椭圆联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），利用韦达定理结合OA⊥OB求出k的值，求出|AB|^_，求出直角△OAB斜边高为点O到直线AB的距离d，然后求解面积．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$∴${c^2}=\frac{1}{2}{a^2}$，…（1分）
依题意b=1，∴a²-c²=1，…（2分）
∴${a^2}-\frac{1}{2}{a^2}=1$∴a²=2，…（3分）
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$；…（4分）
（2）椭圆的右焦点为（1，0），当直线AB与x轴垂直时，A，B的坐标为$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
此时${k_{OA}}×{k_{OB}}=-\frac{1}{2}≠-1$∴直线AB与x轴不垂直，…（5分）
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1），
与$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$联立得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\;{x_1}{x_2}=\frac{{2（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}$，$M（\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{-k}{{2{k^2}+1}}）$．…（7分）
∵OA⊥OB，∴k_OA×k_OB=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+k（x₁-1）k（x₂-1）=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}-{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}=0$，
∴$\frac{{2（{k^2}+1）（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}-\frac{{4{k^4}}}{{2{k^2}+1}}+{k^2}=0$，∴k²=2∴$k=±\sqrt{2}$，…（9分）
∴|AB|²=4|OM|²=$4[{（\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}）^2}+{（\frac{-k}{{2{k^2}+1}}）^2}]=\frac{72}{25}$，∴$|AB|=\frac{{6\sqrt{2}}}{5}$．…（11分）
直角△OAB斜边高为点O到直线AB的距离d=$\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，…（12分）
∴△OAB的面积为$\frac{1}{2}d|AB|=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}×\frac{{6\sqrt{2}}}{5}=\frac{{2\sqrt{3}}}{5}$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．