Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12；数列{b_n}的前n项和是S_n，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求数列{a_n}和{b_n}通项公式；
（2）记c_n=

-2

an•log bn 2

，数列{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＜

m-2012

2

对一切n∈N^*都成立，求最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设{an }的公差为d，由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由已知条件推导出{bn }是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=

-2

cn•log3 bn 2

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能求出最小正整数m．

解答： 解：（1）设{an }的公差为d，
则a2 =a1+d，a5 =a1 +4d，
∵a₂=6，a₅=12，
∴

a1+d=6 a1+4d=12

，解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
∵数列{b_n}的前n项和是S_n，且S_n+

1

2

b_n=1，
∴当n=1时，b₁=S₁，
由S1+

1

2

b1=1，得b1=

2

3

，
当n≥2时，∵Sn=1-

1

2

bn，Sn-1 =1-

1

2

bn-1，
∴S_n-S_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），即bn =

1

2

(bn-1-bn)，
∴bn=

1

3

bn-1，
∴{bn }是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴bn =

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
（2）∵bn =2•（

1

3

）ⁿ，
∴c_n=

-2

cn•log3 bn 2

=

-2

(2n+2)log3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1，
由已知得

m-2012

2

≥1，
∴m≥2014，
∴最小正整数m=2014．…（12分）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．