Question

7．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点，证明A₁，C₁，F，E四点共面，并求点B到平面A₁EF的距离．

Answer 1

分析 连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，可得EF∥A₁C₁，即A₁、C₁、F、E四点共面．
设点B到平面A₁EF的距离为d，
由V${\;}_{B-{A}_{1}EF}$=V${\;}_{F-{A}_{1}EB}$，⇒$\frac{1}{3}×{s}_{{△A}_{1}EF}×d=\frac{1}{3}{s}_{△{A}_{1}EB}×FB$，可得点B到平面A₁EF的距离

解答 解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A₁C₁，
所以EF∥A₁C₁，所以A₁、C₁、F、E四点共面．
设点B到平面A₁EF的距离为d，
∵V${\;}_{B-{A}_{1}EF}$=V${\;}_{F-{A}_{1}EB}$，⇒$\frac{1}{3}×{s}_{{△A}_{1}EF}×d=\frac{1}{3}{s}_{△{A}_{1}EB}×FB$
∵${A}_{1}E=EF=\sqrt{2}$，${A}_{1}F=\sqrt{A{A}^{2}+A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，∴${s}_{△{A}_{1}EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
${s}_{△{A}_{1}EB}=\frac{1}{2}{s}_{△{A}_{1}AB}=\frac{1}{2}$
∴$d=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴点B到平面A₁EF的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查了空间四点共面的判定，等体积法求点面距离，属于中档题