Question

【题目】已知，函数.

（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；

（2）令，已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由题函数上为减函数，可以转化为f'（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，由此求解参数范围即可；
（2）（2）由题.

，可求出的值域为.

若对任意，总存在.使得成立，则，

函数在的值域是在的值域的子集.，由此可得到实数的取值范围.

试题解析：（1）因为，

要使在为减函数，则需在上恒成立.

即在上恒成立，因为在为增函数，所以在的最小值为，所以.

（2）因为，所以.

，

当时，在上为递增，

当时，在上为递减，

所以的最大值为，所以的值域为.

若对任意，总存在.使得成立，则，

函数在的值域是在的值域的子集.

对于函数，

①当时，的最大值为，所以在上的值域为，由得；

②当时，的最大值为，所以在上的值域为，由得（舍）.

综上所述，的取值范围是.