Question

5．已知正数列{a_n}，S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²与S_n+1=$\frac{1}{8}$（a_n+1+2）²作差、整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=4（a_n+1+a_n），利用a_n＞0可知a_n+1-a_n=4，进而可知数列{a_n}是以2为首项、4为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知，利用等差数列的通项公式计算即得结论．

解答 （1）证明：∵S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²，
∴S_n+1=$\frac{1}{8}$（a_n+1+2）²，
两式相减得：a_n+1=$\frac{1}{8}$[（a_n+1+2）²-（a_n+2）²]=$\frac{1}{8}$（${{a}_{n+1}}^{2}$+4a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$-4a_n），
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=4（a_n+1+a_n），
又∵a_n＞0，即a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=4，
又∵S₁=$\frac{1}{8}$（a₁+2）²，即a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项、4为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知a_n=2+4（n-1）=4n-2．

点评 本题考查等差数列的判定及数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．