Question

已知点，，动点的轨迹曲线满足，
，过点的直线交曲线于、两点.
（Ⅰ）求的值，并写出曲线的方程；
（Ⅱ）求△面积的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）.  （Ⅱ）△面积的最大值为3，此时直线的方程为.

(1)先设出动点M(x,y),然后再△中利用余弦定理得,再转化成,把条件代入上式可得,即
根据椭圆定义可确定点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.进而方程易求.
（2）设直线的方程为，可避免对斜率不存在情况的讨论.再与椭圆方程联立消x后得关于y的一元二次方程，因为,把面积表示成关于m的函数然后再利用函数求最值的方法求解即可
（Ⅰ）设，在△中，，，
根据余弦定理得.………12分即.
.
而，所以. 
所以.　 　　　　　　 　　　　………………4分
又，
因此点的轨迹是以、为焦点的椭圆（点在轴上也符合题意），
，.
所以曲线的方程为.            ………………6分
（Ⅱ）设直线的方程为.
由，消去x并整理得.    ①
显然方程①的,设,,
则
由韦达定理得，.     …………9分
所以.    …………11分
令，则，.         …………12分
由于函数在上是增函数.
所以，当，即时取等号.
所以，即的最大值为3.
所以△面积的最大值为3，此时直线的方程为