Question

12．设函数$f（x）=\frac{{3{x^2}+ax}}{e^x}，a∈R$．
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a；
（2）“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，利用导数研究其最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，
∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0；
（2）由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，
可得a≥$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，在[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，u′（x）=$\frac{-3[（x-1）^{2}+1]}{（x-1）^{2}}$＜0，
∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，
∴a≥u（3）=-$\frac{9}{2}$．
因此a的取值范围为：[-$\frac{9}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于中档题．