Question

已知正四棱锥P-ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：正四棱锥P-ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，可得∠EAO为所求二面角的平面角，即可得出结论．

解答： 解：如图，正四棱锥P-ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，
又BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，
过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，
∴∠EAO为所求二面角的平面角．
又EO=

1

2

AO=

2

4

a，AO=

2

2

a，∴AE=

10

4

a
∴cos∠EAO=

2 5

5

．
∴截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是

2 5

5

．

点评：本题考查截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值，考查学生的计算能力，正确作出二面角的平面角是关键．