Question

15．设函数f（x）=（x-a）|x-a|-x|x|+2a+1（a＜0，）若存在x₀∈[-1，1]，使f（x₀）≤0，则a的取值范围为[-3，-2+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，讨论f（x）的单调区间与区间[-1，1]的关系，求出f（x）在[-1，1]上的最小值，令最小值小于或等于零解出a．

解答 解：∵存在x₀∈[-1，1]，使f（x₀）≤0，
∴f_min（x）≤0，x∈[-1，1]．
当x≤a时，f（x）=（x-a）（a-x）+x²+2a+1=2ax-a²+2a+1，
∴f（x）在（-∞，a]上单调递减；
当a＜x＜0时，f（x）=（x-a）²+x²+2a+1=2x²-2ax+a²+2a+1，
∴f（x）在（a，$\frac{a}{2}$）上单调递减，在（$\frac{a}{2}$，0）上单调递增；
当x≥0时，f（x）=（x-a）²-x²+2a+1=-2ax+a²+2a+1，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增．
（1）若$\frac{a}{2}≤$-1，即a≤-2时，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f_min（x）=f（-1）=a²+4a+3≤0，
解得-3≤a≤-1，∴-3≤a≤-2；
（2）若$-1＜\frac{a}{2}＜0$，即-2＜a＜0时，f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$]上单调递减，在（$\frac{a}{2}$，1]上单调递增，
∴f_min（x）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1≤0，
解得-2-$\sqrt{2}$≤a≤-2+$\sqrt{2}$，∴-2＜a≤-2+$\sqrt{2}$．
综上，a的取值范围是[-3，-2+$\sqrt{2}$]．
故答案为：[-3，-2+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值，函数恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题．