Question

6．已知函数f（x）=lnx-ax³-x．
（Ⅰ）直线y=k（x-1）为曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线，求实数k；
（Ⅱ）若$a≤\frac{e}{2}$，证明：f（x）＞lnx-xe^x．

Answer 1

分析 （I）利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得出k．
（Ⅱ）解法一：即证：lnx-ax³-x＞lnx-x e^x，即证：ax³+x＜x e^x，因为x＞0，即证：ax²+1＜e^x，设h（x）=e^x-ax²-1，h'（x）=e^x-2ax，令h''（x）=e^x-2a．对a分类讨论：（ i）当$a≤\frac{1}{2}$时，（ ii）当$a＞\frac{1}{2}$时，利用导数研究h′（x）及其h（x）的单调性即可证明．
解法二：即证：lnx-ax³-x＞lnx-x e^x，即证：x e^x＞ax³+x，因为x＞0，即证：e^x-ax²-1＞0，因为$a≤\frac{e}{2}$，即证${e^x}-\frac{e}{2}{x^2}-1＞0$，令$k（x）={e^x}-\frac{e}{2}{x^2}-1$，k'（x）=e^x-ex，k''（x）=e^x-e＞0，利用导数研究其单调性即可证明．

解答 （Ⅰ）解：由已知得f（1）=0，所以切点坐标（1，0）（1分）
又f（1）=0-a-1=0，得a=-1，（2分）
$f'（x）=\frac{1}{x}+3{x^2}-1$，所以k=f'（1）=1+3-1=3．（4分）
（Ⅱ）解法一：即证：lnx-ax³-x＞lnx-x e^x，即证：ax³+x＜x e^x，
因为x＞0，即证：ax²+1＜e^x，（5分）
设h（x）=e^x-ax²-1，h'（x）=e^x-2ax，令h''（x）=e^x-2a
（ i）当$a≤\frac{1}{2}$时，h''（x）＞0，h'（x）单调递增，h'（x）＞h'（0）=1，
h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0，满足题意；（7分）
（ ii）当$a＞\frac{1}{2}$时，h''（x）=e^x-2a=0，解得x=ln2a，
当x∈（0，ln2a），h''（x）＜0，h'（x）单调递减，
当x∈（ln2a，+∞），h''（x）＜0，h'（x）单调递增，（9分）
此时$h'{（x）_{min}}=h'（ln2a）={{e}^{ln2a}}-2aln2a=2a（1-ln2a）$，（10分）
因为$a≤\frac{e}{2}$，1-ln2a≥0，即h'（x）_min＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0，满足题意；（11分）
综上可得，当$a≤\frac{e}{2}$时，f（x）＞lnx-xe^x．（12分）
解法二：即证：lnx-ax³-x＞lnx-x e^x，即证：x e^x＞ax³+x，
因为x＞0，即证：e^x-ax²-1＞0，（5分）
因为$a≤\frac{e}{2}$，即证${e^x}-\frac{e}{2}{x^2}-1＞0$，（8分）
令$k（x）={e^x}-\frac{e}{2}{x^2}-1$，k'（x）=e^x-ex，k''（x）=e^x-e＞0，k'（x）单调递增，k'（x）＞1，k（x）单调递增，k（x）＞k（0）=0．
所以${{e}^x}＞\frac{e}{2}{x^2}+1≥a{x^2}+1$，故原不等式得证．（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．