Question

3．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后，所得函数g（x）为奇函数，则函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求出g（x）的解析式，再根据题意求x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的最小值即可．

解答 解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后所得图象对应的函数解析式为：
y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）为奇函数，
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ，即φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z；
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1；
∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）图象的变换问题，也考查了三角函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．