【题目】已知函数.
(1)若在
上单调递减,求
的取值范围;
(2)若在
处取得极值,判断当
时,存在几条切线与直线
平行,请说明理由;
(3)若有两个极值点
,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得恒成立 ,构造函数,令
,由导函数的解析式可知
在
递增,在
递减, 据此计算可得实数a的取值范围.
(Ⅱ) 由在
处取得极值可得
.原问题等价于求解
在区间
内解的个数,结合导函数的解析式研究函数的单调性和函数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数.而事实情况下检验
时函数
不存在极值点,所以不存在满足题意的实数
,也不存在满足题意的切线.
(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设
,易知
,结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式.
(Ⅰ)由已知,恒成立
令,
则,
,令
,解得:
,令
,解得:
,
故在
递增,在
递减,
,由
恒成立可得
.
即当在
上单调递减时,
的取值范围是
.
(Ⅱ)在
处取得极值,则
,可得
.
令,即
.
设,则
.
故在
上单调递增,在
上单调递减,
注意到,
,
则方程在
内只有一个实数根,
即当时,只有一条斜率为
且与函数
图像相切的直线.
但事实上,若,则
,
,
故函数在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
且,故函数
在区间
上恒成立,
函数在区间
上单调递减,即函数不存在极值点,
即不存在满足题意的实数,也不存在满足题意的切线.
(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设
,
由(Ⅰ)可知,且:
①,
②,
由①-②得:,
即 ,
由①+②得:,
.
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【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若函数
的导函数
的图象与
轴交于
,
两点,其横坐标分别为
,
,线段
的中点的横坐标为
,且
,
恰为函数
的零点,求证:
.
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=60°,PB=PD=2,PA,AC∩BD=O
(1)设平面ABP∩平面DCP=l,证明:l∥AB
(2)若E是PA的中点,求三棱锥P﹣BCE的体积VP﹣BCE.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l:yx﹣3经过椭圆
1(a>b>0)的一个焦点,且点(0,b)到直线l的距离为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)A、B、C是椭圆E上的三个动点,A与B关于原点对称,且|CA|=|CB|,求△ABC面积的最小值,并求此时点C的坐标.
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【题目】已知椭圆C:(
)的左右焦点分别为
,
,点
为短轴的一个端点,
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,过右焦点,且斜率为k(
)的直线l与椭圆C相交于D,E两点,A为椭圆的右顶点,直线
,
分别交直线
于点M,N,线段
的中点为P,记直线
的斜率为
.试问
是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.
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【题目】养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
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【题目】抛物线:
的焦点为
,抛物线过点
.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程与其准线
的方程;
(Ⅱ)过点作直线与抛物线
交于
,
两点,过
,
分别作抛物线的切线,证明两条切线的交点在抛物线
的准线
上.
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【题目】某医院治疗白血病有甲、乙两套方案,现就70名患者治疗后复发的情况进行了统计,得到其等高条形图如图所示(其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为.
(1)补充完整列联表中的数据,并判断是否有
把握认为甲乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响;
复发 | 未复发 | 总计 | |
甲方案 | |||
乙方案 | 2 | ||
总计 | 70 |
(2)为改进“甲方案”,按分层抽样组成了由5名患者构成的样本,求随机抽取2名患者恰好是复发患者和未复发患者各1名的概率.
附:
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 |
,
.
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