Question

20．已知F₁、F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点且$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=8a，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，3]
• B． [3，+∞）
• C． （1，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|²=8a|PF₂|，得到n=2a，m=4a，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出2c≤6a，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，$\frac{c}{a}$=3且双曲线离心率e＞1，综上即可求得双曲线离心率的取值范围．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|²=8a|PF₂|，
∴m-n=2a，m²=8an，
∴$\frac{m-n}{{m}^{2}}$=$\frac{2a}{8an}$，
∴m²-4mn+4n²=0，
∴m=2n，
∴n=2a，m=4a，
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
∴2c＜4a+2a，
∴$\frac{c}{a}$＜3，
当p为双曲线顶点时，$\frac{c}{a}$=3
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤3，
故选A．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系，考查计算能力，属于中档题．