Question

9．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点为椭圆C₂：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（{a＞b＞0}）的右焦点，且两曲线有公共点（$\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）若椭圆C₂的一条切线l与抛物线C₁交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）将点代入抛物线方程，即可求得p的值，求得焦点坐标，则c=1，即a²=b²+1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设直线l方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，b+4k=0，将直线方程代入椭圆方程，由△=0，b²=3+4k²，即可求得b和k的值，即可求得直线方程；
方法二：椭圆的切线方程：$\frac{x{x}_{0}}{4}+\frac{{yy}_{0}}{3}=1$，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得切点M，代入即可求得直线l的方程．

解答 解：（1）由题意可知：将（$\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）代入抛物线方程（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）²=$\frac{2}{3}$×2p，解得：2p=4，
则抛物线C₁：y²=4x，焦点F（1，0），即c=1，a²=b²+1，
将（$\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）代入$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即$\frac{4}{9（{b}^{2}+1）}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1$，解得：b²=3，a²=4，
椭圆C₂的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
抛物线C₁的方程y²=4x，椭圆C₂的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）方法一：设直线AB的方程：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2kb-4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=$\frac{4b}{k}$，
由OA⊥OB，则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{4b}{k}$=0，整理得：b+4k=0，①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△=（8kb）²-4（3+4k²）（4b²-12）=0，即b²=3+4k²，②
由①②解得：k=±$\frac{1}{2}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线l的方程x+2y-4=0或x-2y-4=0．
方法二：设直线AB与椭圆相切于M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则椭圆的切线方程：$\frac{x{x}_{0}}{4}+\frac{{yy}_{0}}{3}=1$，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x{x}_{0}}{4}+\frac{y{y}_{0}}{3}=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：3x₀y²+16y₀y-48=0，
则y₁+y₂=-$\frac{16{y}_{0}}{3{x}_{0}}$，y₁y₂=-$\frac{16}{{x}_{0}}$，
则x₁x₂=$\frac{1}{16}$y₁²y₂²=$\frac{16}{{x}_{0}^{2}}$，
由OA⊥OB，则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，-$\frac{16}{{x}_{0}}$+$\frac{16}{{x}_{0}^{2}}$=0，
解得：x₀=1，则y₀=±$\frac{3}{2}$，
∴直线l的方程：$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$或$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=1$，
直线l的方程x+2y-4=0或x-2y-4=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆及抛物线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．