Question

20．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）

• A． 8日
• B． 9日
• C． 12日
• D． 16日

Answer 1

分析 通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．

解答 解：由题可知，良马每日行程a_n构成一个首项为103，公差13的等差数列，
驽马每日行程b_n构成一个首项为97，公差为-0.5的等差数列，
则a_n=103+13（n-1）=13n+90，b_n=97-0.5（n-1）=97.5-0.5n，
则数列{a_n}与数列{b_n}的前n项和为1125×2=2250，
又∵数列{a_n}的前n项和为$\frac{n}{2}$×（103+13n+90）=$\frac{n}{2}$×（193+13n），
数列{b_n}的前n项和为$\frac{n}{2}$×（97+97.5-0.5n）=$\frac{n}{2}$×（194.5-$\frac{1}{2}$n），
∴$\frac{n}{2}$×（193+13n）+$\frac{n}{2}$×（194.5-$\frac{1}{2}$n）=2250，
整理得：25n²+775n-9000=0，即n²+31n-360=0，
解得：n=9或n=-40（舍），即九日相逢．
故选：B．

点评 本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．