Question

【题目】已知抛物线C： ，点 在x轴的正半轴上，过点M的直线 与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．

（1）若 ，且直线 的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（2）是否存在定点M，使得不论直线 绕点M如何转动， 恒为定值？

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时， ，此时，点M为抛物线C的焦点，
直线 的方程为 ，设 ，联立 ，
消去y得， ，∴ ， ，∴圆心坐标为 ．
又 ，∴圆的半径为4，∴圆的方程为
（2）解：由题意可设直线 的方程为 ，则直线 的方程与抛物线C： 联立，
消去x得： ，则 ， ，

对任意 恒为定值，
于是 ，此时 ．
∴存在定点 ，满足题意
【解析】（1）根据条件可求出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立后，利用韦达定理可得出以A、B为直径的圆的半径、圆心坐标，写出圆的方程即可。
（2）根据条件设出直线l的方程，与抛物线方程联立后表示出A、B坐标，代入给出的式子、化简后得到=，则即k=2试该式恒为定值。