Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆经过， 两点，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）过圆内一点作两条相互垂直的弦，当时，求四边形的面积．

（3）设直线与圆相交于两点， ，且的面积为，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）或.

【解析】试题分析：（1）由圆的方程可采用待定系数法或利用圆的性质：弦的垂直平分线过圆心等来求解；（2）将四边形面积用弦长表示，利用直线与圆相交时弦长一半，圆的半径，圆心到直线的距离构成的直角三角形求解；（3）设出直线方程，将弦长和面积用表示，解方程可得到直线的方程

试题解析：（1）因为， ，所以，AB的中点为，

故线段AB的垂直平分线的方程为，即，

由，解得圆心坐标为．

所以半径r满足．

故圆的标准方程为．

（2）∵∴到直线的距离相等，设为

则

∴

∴四边形的面积

（3）设坐标原点到直线的距离为，因为．

①当直线与x轴垂直时，由坐标原点到直线的距离为知，直线的方程为

或，经验证，此时，不适合题意；

②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，

由坐标原点到直线的距离为，得（*），

又圆心到直线的距离为，所以，

即（**），

由（*），（**）解得．

综上所述，直线的方程为或．