Question

已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x₁，x₂，，x_k都有成立；
（3）求证：．

Answer 1

（1）；（2）的最大值为．
（3）当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，
。

解析试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．     （*）
，．  （**）
由（*）、（**）两式，解得，．    2分
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．   
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．5分
因此，实数的取值范围是．      6分
（2）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．
因此，的最大值为．                10分
（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，
即．        11分
令，得，   
化简得，        13分
．    14分
（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，
根据（1）的推导有，时，，即．
令，得，即．
因此，时不等式成立．                    11分
（另解：，，，即．）
假设当时不等式成立，即