Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；

（Ⅱ）讨论函数零点的个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；

（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数.

（Ⅰ）的定义域为，.

由题意，令，即.解得或（舍去）.

∵，∴到直线的距离为所求的最小值.

（Ⅱ）法一：

（1）当时，，在上是增函数.

∵.当时，

∴，又，∴，故恰有一个零点.

（2）当时，，得（舍去），所以没有零点.

（3）当时，令，得或（舍去）.

当时，，当时，.

∴在上是减函数，在上是增函数，.

①当，即时，恰有1个零点.

②当，即时，没有零点.

③当，即时，.

令，则，.

令，，

∴在上单调递增，∴，

∴，∴.

∵，，∴有2个零点.

综上，函数当或时，有1个零点；当时，有2个零点；当时，没有零点.

（Ⅱ）法二：若，则（且）.

设（且），.问题转化为讨论的图象与直线交点的个数.

（且）.令得.

当或时，；当时，.

∴在，上是减函数，在上是增函数，.

又时.当时，.∴当或即或时，直线与函数的图象有1个交点；当，即时，有两个交点；当时没有交点.

所以函数当或时有1个零点；

当时有2个零点；

当时没有零点.