Question

如图所示，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O且与x轴y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点，若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过B．
（1）求此抛物线的函数解析式，且设抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=

1

10

S_△ABC，若存在，请求出点P的坐标；
（2）在抛物线上找点F使∠AFB为锐角，直接写出F的横坐标范围；
（3）求出△ABO内切圆的圆心坐标；
（4）求圆心在抛物线的对称轴上，且与直线AB和x轴都相切的圆的半径是多少？
（5）求过C、D、E三点外接圆的半径．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用待定系数法求出圆M的方程，再求出圆心M，设出抛物线的方程y=a（x+3）²+1，代入B（0，-8），求得a，在抛物线上假设存在点P，使得S_△PDE=

1

10

S_△ABC，设P（s，-s²-6s-8），运用面积公式，得到s的方程，解得即可；
（2）设F（n，-n²-6n-8），∠AFB为锐角则有

AF

•

BF

＞0，即有n（n+6）+（n²+6n）（n²+6n+8）＞0，解得，n＞0或n＜-6；
（3）求出直角三角形ABO的三边长，再由等积法，即可得到半径r，进而得到圆心的坐标；
（4）设所求圆心为（-3，b），半径为R，根据条件，运用点到直线的距离公式，列出方程，解方程得到b，即可；
（5）求出三角形CDE的三边长，判断形状，即可得到所求圆的半径．

解答： 解：（1）圆M：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则F=0，36-6D=0，64-8E=0，解得，D=6，E=8，F=0，即圆M：x²+y²+6x+8y=0，
M（-3，-4）．则对称轴为x=-3，顶点C为（-3，1），
设抛物线的解析式为y=a（x+3）²+1，代入B（0，-8），解得，a=-1．
则有抛物线方程：y=-x²-6x-8．易得D（-4，0），E（-2，0），
在抛物线上假设存在点P，使得S_△PDE=

1

10

S_△ABC，设P（s，-s²-6s-8），
则S_△PDE=

1

2

×2×|s²+6s+8|=|s²+6s+8|
设BC与x轴交于S，由BC：y=-3x-8，令y=0，求得，x=-

8

3

．
则S_△ABC=

1

2

×（8+1）×（6-

8

3

）=15，
由S_△PDE=

1

10

S_△ABC，解得，s=

-6± 10

2

，
即存在点P（

-6+ 10

2

，-1.5），或（

-6- 10

2

，-1.5）；
（2）F的横坐标范围是（-∞，-6）∪（0，+∞）；
（3）在直角三角形ABO中，|AB|=10，|AO|=6，|BO|=8，
则设内切圆的半径为r，则

1

2

r（6+8+10）=

1

2

×6×8，解得，r=2，
则△ABO内切圆的圆心坐标为（-2，-2）；
（4）设所求圆心为（-3，b），半径为R，则R=|b|，
直线AB：4x+3y+24=0，由d=R，即有

|-12+3b+24|

16+9

=R，
解得，b=6或-

3

2

，
则所求圆的半径是6或

3

2

；
（5）由于C（-3，1），D（-4，0），E（-2，0），
由|CD|=

2

=|CE|，|DE|=2，
可知，三角形CDE为等腰直角三角形，DE为斜边，
则所求外接圆的半径为1．

点评：本题考查抛物线的解析式的求法，圆的方程的求法，考查直线和圆相切的条件、三角形的内切圆和外接圆的半径的求法，考查直线方程的运用，以及两点的距离和点到直线的距离的公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．