椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的经过中心的弦称为椭圆的一条直径.平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段.称为该直径的共轭直径.已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}$+y2=1．(1)若一条直径的斜率为$\frac{1}{3}$.求该直径的共轭直径所在的直线方程,(2)若椭圆的两条共轭直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}$+y²=1．
（1）若一条直径的斜率为$\frac{1}{3}$，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k₁，k₂，证明：四边形ACBD的面积为定值．

分析（1）设斜率为$\frac{1}{3}$的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），该弦中点为（x，y），利用平方差法即可求出该直径的共轭直径所在的直线方程．
（2）椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k₁，k₂，设与AB平行的弦的端点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），表示出斜率，点的坐标代入椭圆方程，利用平方差法求出斜率关系，然后求出A，B，C，D坐标，设点C到直线AB的距离为d，求出距离的表达式，即可求解四边形ACBD的面积是否是定值．

解答解：（1）设斜率为$\frac{1}{3}$的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
该弦中点为（x，y），则有$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$，$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$，
相减得：$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_2}+{x_2}）}}{4}+（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）=0$，
由于$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，$y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，且$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{1}{3}$，所以得：3x+4y=0，
故该直径的共轭直径所在的直线方程为3x+4y=0．
（2）椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k₁，k₂，
四边形ACBD显然为平行四边形，
设与AB平行的弦的端点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则${k_1}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，${k_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$，而$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$，$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$，$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_2}+{x_2}）}}{4}+（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）=0$，
故${k_1}{k_2}=\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{1}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得A，B的坐标分别为$（\frac{2}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}，\frac{{2{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}）$，$（-\frac{2}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}，-\frac{{2{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}）$
故$|{AB}|=\frac{4}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}\sqrt{1+k_1^2}$，
同理C，D的坐标分别为$（\frac{2}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}，\frac{{2{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}）$，$（-\frac{2}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}，-\frac{{2{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}）$
设点C到直线AB的距离为d，四边形ACBD的面积为S，
所以，$d=\frac{{|{\frac{{2{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}-\frac{{2{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=\frac{{2|{{k_1}-{k_2}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{1+4k_2^2}}}$，
则$S=d|AB|=\frac{2|{k}_{1}-{k}_{2}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+4{{k}_{2}}^{2}}}×\frac{4}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}•\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$
=$\frac{8|{k}_{1}-{k}_{2}|}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+4{{k}_{2}}^{2}}}$
=8$\sqrt{\frac{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}-2{k}_{1}{k}_{2}}{1+4（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）+16{{k}_{1}}^{2}{{k}_{2}}^{2}}}$
=4．
为定值．

点评本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法的应用，点到直线的距离公式距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力．

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