Question

设向量

m

=（cosx，sinx），x∈（0，π），

n

=（1，

3

）．
（1）若|

m

-

n

|=

5

，求x的值；
（2）设f（x）=（

m

+

n

）•

n

，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积的坐标运算、同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

-

n

=(cosx-1， sinx-

3

)，
由|

m

-

n

|=

5

得cos2x-2cosx+1+sin2x-2

3

sinx+3=5
整理得cosx=-

3

sinx显然cosx≠0，∴tanx=-

3

3

．
∵x∈（0，π），∴x=

5π

6

．
（2）∵

m

+

n

=(cosx+1， sinx+

3

)，
∴f(x)=(

m

+

n

)•

n

=(cosx+1，sinx+

3

)•(1，

3

)=cosx+1+

3

sinx+3
=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)+4
=2sin(x+

π

6

)+4．
∵0＜x＜π，
∴

π

6

＜x+

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin(x+

π

6

)≤1．
∴函数f（x）的最大值是2×1+4=6．

点评：本题考查了数量积的坐标运算、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．