Question

设正数等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₃=14，a₂=a₃-2a₁．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等比数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公比，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ．利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵正数等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=14，a₂=a₃-2a₁，
∴

a1(1-q3) 1-q =14 a1q=a1q2-2a1 q＞0

，
解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ．
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．