Question

数列{a_n}（a_n＞0）的首项为1，且前n项和S_n满足

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

an

2n

（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而得到Sn=n2，由此能示出a_n=2n-1．
（2）由bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）∵

Sn

-

Sn-1

=1．
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+(n-1)×1=n，∴Sn=n2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1，符合上式，
∴a_n=2n-1．…（6分）
（2）∵bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，
∴Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①
①×2得2T_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，②
②-①得T_n=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=2+

1 2 - 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=1+

1

2n-2

-

2n-1

2n

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．