Question

已知f（x）=x²-2x-ln（x+1）²．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数F（x）=f（x）-x²+3x+a在[

1

2

，2]上只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0
（2）先求出F（x）=x-ln（x+1）²+a，再求导，讨论其单调性，得到

F( 1 2 )≥0 F(2)＜0

或F（1）=0，继而求出范围．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为x|x≠-1}，
∴f′（x）=2x-2-

2

x+1

=

2(x2-2)

x+1

，
令f′（x）=0，解得x=±

2

，且x≠-1，
当f′（x）＞0是，得-

2

＜x＜-1，或x＞

2

，
∴f（x）的单调递增区间是得（-

2

，-1），和（

2

，+∞），
（2）由已知得F（x）=x-ln（x+1）²+a，
∴F′（x）=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

∴当x＜-1，或x＞1时，F′（x）＞0，当-1＜x＜1，F′（x）＜0，
∴当x∈[

1

2

，1]，F′（x）＜0，此时F（x）单调递减，
当x∈[1，2]，F′（x）＞0，此时F（x）单调递增，
∴F（

1

2

）=

1

2

-ln（

1

2

+1）²+a＞a，F（2）=2-2ln3+a＜a
∴F（

1

2

）＞F（2）
∵函数F（x）=f（x）-x²+3x+a在[

1

2

，2]上只有一个零点，
∴

F( 1 2 )≥0 F(2)＜0

或或F（1）=0，
解得

1

2

-2ln2≤a≤2ln3-2，或a=2ln2-1，
故实数a的取值范围．

1

2

-2ln2≤a≤2ln3-2，或a=2ln2-1，

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及二次函数的单调性和零点问题，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．